عنوان فعالیت: تمرین ۲ یافتن برد توابع از روی ضابطه و دامنه ریاضی دهم انسانی
۲. برد هریک از توابع زیر را با توجه به ضابطه و دامنه‌ی داده شده، به دست آورید.
الف) $\mathbf{f: A \to B \quad f(x) = x^2 + x + 1 \quad , \quad A = \{0, -1, 1, 2, -2\}}$
ب) $\mathbf{f: A \to B \quad f(x) = \frac{x + 1}{x} \quad , \quad A = \{\frac{1}{2}, 1, -1, 2, -2\}}$
پ) $\mathbf{f: A \to B \quad f(x) = \sqrt{x + 1} \quad , \quad A = \{0, 1, 2, 3, 4, 8\}}$
ت) $\mathbf{f: A \to B \quad f(x) = x \quad , \quad A = \mathbb{W} = \{0, 1, 2, \dots\}}$
ث) $\mathbf{f: A \to B \quad f(x) = 0 \quad , \quad A = \mathbb{R}}$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ یافتن برد توابع از روی ضابطه و دامنه صفحه 53 ریاضی دهم انسانی
**برد تابع ($athbf{R_f}$)** مجموعه‌ای از تمام مقادیر خروجی ($athbf{y}$) است که با جایگذاری اعضای دامنه ($athbf{A}$) در ضابطه‌ی تابع ($athbf{f(x)}$) به دست می‌آید.
---
### الف) $\mathbf{f(x) = x^2 + x + 1 \quad , \quad A = \{0, -1, 1, 2, -2\}}$
1. $\mathbf{f(0) = 0^2 + 0 + 1 = 1}$
2. $\mathbf{f(-1) = (-1)^2 + (-1) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1}$
3. $\mathbf{f(1) = 1^2 + 1 + 1 = 3}$
4. $\mathbf{f(2) = 2^2 + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7}$
5. $\mathbf{f(-2) = (-2)^2 + (-2) + 1 = 4 - 2 + 1 = 3}$
$$\mathbf{\text{برد } R_f = \{1, 3, 7\}}$$
---
### ب) $\mathbf{f(x) = \frac{x + 1}{x} = 1 + \frac{1}{x} \quad , \quad A = \{\frac{1}{2}, 1, -1, 2, -2\}}$
1. $\mathbf{f(\frac{1}{2}) = 1 + \frac{1}{1/2} = 1 + 2 = 3}$
2. $\mathbf{f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2}$
3. $\mathbf{f(-1) = 1 + \frac{1}{-1} = 1 - 1 = 0}$
4. $\mathbf{f(2) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5}$
5. $\mathbf{f(-2) = 1 + \frac{1}{-2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = 0.5}$
$$\mathbf{\text{برد } R_f = \{3, 2, 0, \frac{3}{2}, \frac{1}{2}\}}$$
---
### پ) $\mathbf{f(x) = \sqrt{x + 1} \quad , \quad A = \{0, 1, 2, 3, 4, 8\}}$
1. $\mathbf{f(0) = \sqrt{0 + 1} = 1}$
2. $\mathbf{f(1) = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}}$
3. $\mathbf{f(2) = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}}$
4. $\mathbf{f(3) = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2}$
5. $\mathbf{f(4) = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}}$
6. $\mathbf{f(8) = \sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} = 3}$
$$\mathbf{\text{برد } R_f = \{1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2, \sqrt{5}, 3\}}$$
---
### ت) $\mathbf{f(x) = x \quad , \quad A = \mathbb{W} = \{0, 1, 2, \dots\}}$
این تابع، تابع همانی است. هر ورودی دقیقاً همان خروجی است.
$$\mathbf{\text{برد } R_f = \{0, 1, 2, \dots\} = \mathbb{W}}$$
---
### ث) $\mathbf{f(x) = 0 \quad , \quad A = \mathbb{R}}$
این تابع، تابع ثابت است. به ازای هر ورودی ($athbf{x}$ در $\mathbf{\mathbb{R}}$)، خروجی همیشه $\mathbf{0}$ است.
$$\mathbf{\text{برد } R_f = \{0\}}$$
---
### ج) $\mathbf{f(x) = x \quad , \quad f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}}$
برد تابع همانی که دامنه آن تمام اعداد حقیقی است، خود تمام اعداد حقیقی است.
$$\mathbf{\text{برد } R_f = \mathbb{R}}$$
---
### چ) $\mathbf{f(x) = 2 \quad , \quad f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}}$
برد تابع ثابت که دامنه آن تمام اعداد حقیقی است، تنها شامل مقدار ثابت $\mathbf{2}$ است.
$$\mathbf{\text{برد } R_f = \{2\}}$
عنوان فعالیت: تمرین ۳ نوشتن و یافتن مقدار تابع ریاضی دهم انسانی
۳. تابع $\mathbf{f}$ به هر عدد حقیقی، دو برابر مکعب همان عدد، منهای $\mathbf{4}$ را نسبت می‌دهد. $\mathbf{f}$ کدام تابع است؟ حاصل $\mathbf{f(3)}$ را بیابید.
الف) $\mathbf{f(x) = 2(x - 4)^3}$
ب) $\mathbf{f(x) = 2\sqrt[3]{x} - 4}$
پ) $\mathbf{f(x) = 2x^3 - 4}$
ت) $\mathbf{f(x) = 2\sqrt[3]{x - 4}}$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه 53 ریاضی دهم انسانی
این تمرین به ما یاد می‌دهد که چگونه عبارات کلامی را به ضابطه ریاضی تابع تبدیل کنیم و سپس مقدار تابع را محاسبه کنیم.
### گام ۱: نوشتن ضابطه تابع ($athbf{f(x)}$)
**عبارت کلامی:** «دو برابر مکعب همان عدد، منهای $\mathbf{4}$»
1. **عدد:** $\mathbf{x}$
2. **مکعب همان عدد:** $\mathbf{x^3}$
3. **دو برابر مکعب:** $\mathbf{2x^3}$
4. **منهای $\mathbf{4}$:** $\mathbf{2x^3 - 4}$
**ضابطه صحیح:** $\mathbf{f(x) = 2x^3 - 4}$.
**پاسخ به سؤال:** تابع **پ) $\mathbf{f(x) = 2x^3 - 4}$** تابع مورد نظر است.
### گام ۲: محاسبه $\mathbf{f(3)}$
مقدار $\mathbf{x=3}$ را در ضابطه‌ی صحیح جایگذاری می‌کنیم:
$$\mathbf{f(3) = 2(3)^3 - 4}$$
$$\mathbf{f(3) = 2(27) - 4}$$
$$\mathbf{f(3) = 54 - 4}$$
$$\mathbf{f(3) = 50}$$
**پاسخ نهایی:** حاصل $\mathbf{f(3)}$ برابر $\mathbf{50}$ است.
